"esfera en una bolsa" proyección de avión a esfera

Question

Estoy buscando la transformación matemática para transformar puntos en un plano 2D [0,1]x[0,1] en la unidad de la esfera.

La proyección más común sería latitud-longitud de mapeo mediante la interpretación de u y v como los ángulos de las coordenadas esféricas (mapa u-[0,2PI] y v-[-PI/2, PI/2])

Esto da fuertes distorsiones en los polos de la esfera. Uno puede pensar que esto se transforma como envolviendo la esfera en un papel de bombón girando el papel en ambos extremos. Esto dará distorsiones en esos dos extremos.

La transformación que estoy buscando puede resumirse en poner la esfera en el medio de un papel y poner todos los lados alrededor de la esfera y girarlos en un solo lugar, para que pueda obtener una pequeña bolsa de papel con tu esfera en ella Esto ofrece una distorsión mínima en la parte inferior de la "bolsa" y un distorsion máximo en la parte superior, y si se ve desde abajo, la distorsión es igual en todas las direcciones.

¿Alguien me puede decir cómo calcular este tipo de mapeo?

Answer 1

La respuesta correcta depende de qué propiedad del original necesita conservarse porque cada proyección de mapa distinta se distorsiona de una manera distinta. Algunas áreas preservan, algunas preservan ángulos, otras preservan distancias.

Suponiendo que la carcasa sea sobre formas, entonces sugeriría un Dymaxion map pero tenga en cuenta que su representación plana no es completamente rectangular.

Para otras opciones, vea la lista en Colorado University.

Answer 2

Para la asignación que describe, puede usar coordenadas polares: (x, y) -> (r, alfa), donde r está en [0,1], que representa la relación entre la distancia desde el centro de el rectángulo O (0.5,0.5) al punto actual P (x, y), y la longitud máxima que este segmento podría tener en el valor actual de alfa. Luego mapee r a [-PI/2, PI/2] y alfa a [0,2PI].

Answer 3

Creo que está buscando Exponential Map. Vea también Interactive Decal Compositing with Discrete Exponential Maps.

Answer 4

si realiza un boceto del problema utilizando los ejes x-y de 0 a 1 (es decir, el primer cuadrante), entonces con el mismo origen dibuje el primer octante proyectado con sus ejes de 0 a pi/2. Marque en el punto (1,1) desde el origen, entonces la magnitud de este punto desde el origen es la raíz (2). Ahora puede ver que su punto (1,1) no puede asignarse a la esfera como aparecería fuera de ella.