Mínimo cuadrado ponderado: ajuste un plano al conjunto de puntos 3D

Question

Estoy ajustando un plano a un punto 3D configurado con el método de mínimos cuadrados. Ya tengo un algoritmo para hacer eso, pero quiero modificarlo para usar un cuadrado menos ponderado. Lo que significa que tengo un peso para cada punto (cuanto mayor sea el peso, más cerca estará el avión del punto).

El algoritmo actual (sin peso) es el siguiente:

Calcular la suma:

for(Point3D p3d : pointCloud) { 
    pos = p3d.getPosition(); 
    fSumX += pos[0]; 
    fSumY += pos[1]; 
    fSumZ += pos[2]; 
    fSumXX += pos[0]*pos[0]; 
    fSumXY += pos[0]*pos[1]; 
    fSumXZ += pos[0]*pos[2]; 
    fSumYY += pos[1]*pos[1]; 
    fSumYZ += pos[1]*pos[2]; 
} 

que hacen las matrices:

double[][] A = { 
    {fSumXX, fSumXY, fSumX}, 
    {fSumXY, fSumYY, fSumY}, 
    {fSumX, fSumY, pointCloud.size()} 
}; 

double[][] B = { 
    {fSumXZ}, 
    {fSumYZ}, 
    {fSumZ} 
}; 

de resolver Ax = B y el 3 componentes de la solución son los coeficientes de la llanura ajustada ...

S o, ¿puedes ayudarme a cómo modificar esto para usar pesas? ¡Gracias!

Answer 1

intuición

Un punto x en un plano definido por la normalidad n y un punto en el plano p obedece: n.(x - p) = 0. Si un punto y no se encuentra en el plano, n.(y -p) no será igual a cero, por lo que una forma útil de definir un costo es por |n.(y - p)|^2. Esta es la distancia cuadrada del punto y desde el plano.

Con el mismo peso, que desea encontrar un n que minimiza el error cuadrático total cuando se sumando los puntos:

f(n) = sum_i | n.(x_i - p) |^2 

Ahora bien, esto supone que sabemos algún punto p que se encuentra en el avión. Podemos calcular fácilmente uno como centroide, que es simplemente la media de componentes de la nube de puntos y siempre estará en el plano de mínimos cuadrados.

Solución

Vamos a definir una matriz M donde cada fila es el punto x_iith menos el centroide c, podemos volver a escribir:

f(n) = | M n |^2 

usted debería ser capaz de convencerse de que esta versión de multiplicación de matriz es la misma que la suma de la ecuación anterior.

A continuación, puede tomar singular value decomposition de M, y el n que desee y luego viene dado por el vector singular derecha de M que se corresponde con el valor singular más pequeño.

Para incorporar pesos, simplemente necesita definir un peso w_i para cada punto. Calcule c como el promedio ponderado de los puntos, y cambie sum_i | n.(x_i - c) |^2 por sum_i | w_i * n.(x_i - c) |^2, y la matriz M de forma similar. Luego resuelve como antes.

Answer 2

Multiplicar cada término en cada suma por el peso correspondiente. Por ejemplo:

fSumZ += weight * pos[2]; 
fSumXX += weight * pos[0]*pos[0]; 

Desde pointCloude.size() es la suma de 1 para todos los puntos, se debe reemplazar con la suma de todos los pesos.

Answer 3

Comience redefiniendo el cálculo del error de mínimos cuadrados. La fórmula intenta minimizar la suma de cuadrados de errores. Multiplique el error al cuadrado por una función de dos puntos que disminuye con su distancia. Luego intenta minimizar la suma ponderada de los errores al cuadrado y derivar los coeficientes de eso.