máquinas de vectores soporte - que separan pregunta hiperplano

Question

Por lo que he visto, parece que el hiperplano de separación debe ser en forma

x.w + b = 0.

No entiendo muy bien esta notación. Por lo que entiendo, x.w es un producto interno, por lo que el resultado será un escalar. ¿Cómo puede ser que puedas representar un hiperplano con escalar + b? Estoy bastante confundido con esto.

También, incluso si era x + b = 0, ¿no sería de un hiperplano que pasa justo a través del origen? Por lo que entiendo, un hiperplano de separación no siempre pasa por el origen.

Answer 1

Es la ecuación de un (hiper) plano que usa un punto y un vector normal.
Think del plano como el conjunto de puntos P tal que el vector que pasa de P0 a P es perpendicular a la normal

alt text http://mathworld.wolfram.com/images/eps-gif/Plane_1001.gif

Consultar estas páginas para explicación:

http://mathworld.wolfram.com/Plane.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Plane_%28geometry%29#Definition_with_a_point_and_a_normal_vector

Answer 2

Imagine un avión en un sistema de coordenadas 3d. Para describirlo, necesitas un vector normal N de ese plano y la distancia D del plano al origen. Para simplificar, supongamos que el vector normal tiene una unidad de longitud. Entonces la ecuación para ese plano es xN - D = 0.

Explicación: xN se puede visualizar como una proyección de x en el vector normal N. El resultado es la longitud del vector x paralelo a N. Si esta longitud es igual D, el punto x está en el avión.

Answer 3

Una definición de producto punto (que es un producto interno) es

x. y = | x | * | y | * Cos (a)

donde a es el ángulo más pequeño entre x y y.

Es fácil ver que x. y = 0, si a = 90 grados (pi rad).

Esto significa que si usted tiene un vector normal fijo w, un hiperplano dada por:

x. w = 0

es el conjunto de todos los puntos que x puede "punto en el" dado que x tiene que ser ortogonal a w.

Ahora, un hiperplano dada por:

x. w + b = 0

es el conjunto de todos los puntos que x puede "punto en el" tal que x. w es una constante. Como x se hace más largo, | x | aumenta, el ángulo, a, tiene que acercarse a 90 grados (pi rad), cos (a) disminuye, para producir el mismo resultado constante. Sin embargo, si toma x apuntando en la dirección opuesta a w, cos (a) = -1 y | x | = b (siempre que w sea de longitud unitaria).

Resulta que el plano dado de este conjunto de puntos es paralelo a x. w = 0, y desplazado en el espacio la distancia -b (en el sentido de w) dado que w es de longitud unitaria.

Esta respuesta probablemente no ayudará a la operación, pero es de esperar que alguien más se beneficie de ella.