Ángulo de un punto dado en una curva de Bezier?

Question

Creé esta clase en actionscript, devuelve un punto dado del bezier. Y lo que estoy tratando de lograr es obtener el ángulo del punto actual. Busqué en Internet, pero no pude encontrar mucho. ¿Cómo puedo hacer esto?

public static function quadraticBezierPoint(u:Number, anchor1:Point, anchor2:Point, control:Point):Point { 
    var uc:Number = 1 - u; 
    var posx:Number = Math.pow(uc, 2) * anchor1.x + 2 * uc * u * control.x + Math.pow(u, 2) * anchor2.x; 
    var posy:Number = Math.pow(uc, 2) * anchor1.y + 2 * uc * u * control.y + Math.pow(u, 2) * anchor2.y; 
    return new Point(posx, posy); 
} 

Answer 1

Dado:

• puntos de control p0, p1, p2
• tiempo t

punto B es el punto de la curva de Bezier cuadrática descrito por P0, P1, y p2 en el momento t.
q0 es el punto en la curva de bezier lineal descrito por p0 y p1 en el tiempo t.
q1 es el punto en la curva de bezier lineal descrito por p1 y p2 en el tiempo t.
El segmento de línea entre q0 y q1 es tangente a la curva de Bezier cuadrática en el punto B.

Por lo tanto, el ángulo de la curva de Bezier en el instante t es igual a la pendiente del segmento de línea entre q0 y q1.

Wikipedia tiene un lovely gif demostrando esto. El punto negro es el punto B, y los puntos finales del segmento de línea verde son q0 y q1.

El principio es idéntico para las curvas bezier de mayores dimensiones. Para encontrar el ángulo de un punto en una curva de bezier de N grados, encuentre q0 y q1, que son los puntos en las curvas de bezier N-1-degree para los puntos de control [p0, p1, ..., p (N-1)] y [p1, p2, ..., pN]. El ángulo es igual a la pendiente del segmento de línea q0-q1.

En pseudocódigo:

def bezierCurve(controlPoints, t): 
    if len(controlPoints) == 1: 
     return controlPoints[0] 
    else: 
     allControlPointsButTheLastOne = controlPoints[:-1] 
     allControlPointsButTheFirstOne = controlPoints[1:] 
     q0 = bezierCurve(allControlPointsButTheLatOne, t) 
     q1 = bezierCurve(allControlPointsButTheFirstOne, t) 
     return (1-t) * q0 + t * q1 

def bezierAngle(controlPoints, t): 
    q0 = bezierCurve(controlPoints[:-1], t) 
    q1 = bezierCurve(controlPoints[1:], t) 
    return math.atan2(q1.y - q0.y, q1.x - q0.x) 

Answer 2

Después de la explicación de Kevin me hizo una solución dinámica, pero simple:

public static function quadraticBezierAngle(u:Number, anchor1:Point, anchor2:Point, control:Point):Number { 
    var uc:Number = 1 - u; 
    var dx:Number = (uc * control.x + u * anchor2.x) - (uc * anchor1.x + u * control.x); 
    var dy:Number = (uc * control.y + u * anchor2.y) - (uc * anchor1.y + u * control.y); 
    return Math.atan2(dy, dx); 
}