trabajar con funciones reales en Mathematica

Question

En general, Mathematica asume siempre el caso más general, es decir, si fijo una función

a[s_]:={a1[s],a2[s],a3[s]} 

y quiero calcular su norma Norm[a[s]], por ejemplo, devolverá:

Sqrt[Abs[a1[s]]^2 + Abs[a2[s]]^2 + Abs[a3[s]]^2] 

Sin embargo, si sé que todos ai[s] son reales, puedo invocar:

Assuming[{a1[s], a2[s], a3[s]} \[Element] Reals, Simplify[Norm[a[s]]]] 

que devolverá:

Sqrt[a1[s]^2 + a2[s]^2 + a3[s]^2] 

¿Qué es lo que espero.

problema ocurre cuando se trata de, por ejemplo, se derivan a[s] y luego (tenga en cuenta la D):

Assuming[{a1[s], a2[s], a3[s]} \[Element] Reals, Simplify[Norm[D[a[s],s]]]] 

vuelve una consecuencia que implica valores absolutos - procedentes de la suposición de que los números pueden ser imaginario.

¿Cuál es la manera de superar este problema? Quiero definir una función de valor real y trabajar con ella como tal. Es decir, por ejemplo, quiero que sus derivados sean reales.

Answer 1

Yo usaría una función personalizada en su lugar, p.

vecNorm[vec_?VectorQ] := Sqrt[ vec.vec ] 

Entonces

In[20]:= vecNorm[D[{a1[s], a2[s], a3[s]}, s]] 

Out[20]= Sqrt[ 
Derivative[1][a1][s]^2 + Derivative[1][a2][s]^2 + 
Derivative[1][a3][s]^2] 

Answer 2

Advertencia: no tengo mucha experiencia práctica con esto, por lo que los ejemplos siguientes no se prueban a fondo (es decir, no sé si los supuestos demasiado generales pueden romper cualquier cosa que yo no he pensado).

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Se puede utilizar para definir $Assumptions supuestos permanentes:

podríamos decir que todos a1[s], a2[s], a3[s] son reales:

$Assumptions = {(a1[s] | a2[s] | a3[s]) \[Element] Reals} 

Pero si tiene por ejemplo a1[x] (no a1[s]), entonces no funcionará. Para que podamos mejorar un poco el uso de patrones:

$Assumptions = {(a1[_] | a2[_] | a3[_]) \[Element] Reals} 

o simplemente decir que todos los valores de a[_] son reales:

$Assumptions = {a[_] \[Element] Reals} 

o incluso ser valiente y decir que todo es real:

$Assumptions = {_ \[Element] Reals} 

(me pregunto lo que este se rompe)

AppendTo es útil para agregando a $Assumptions y manteniendo suposiciones previas.

Al igual que Assuming, esto sólo funcionará para funciones como Simplify o Integrate que tiene una opción Assumtpions. D no es una función tal.

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Algunas funciones como Reduce, FindInstance, etc. tienen una opción para trabajar sólo en el dominio de reales, enteros, etc., lo que supone que todas las expresiones y subexpresiones con las que trabajan son reales.

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ComplexExpand[] ya veces FunctionExpand[] también pueden ser útiles en situaciones similares (pero no realmente aquí). Ejemplos: ComplexExpand[Abs[z]^2, TargetFunctions -> {Sign}] y FunctionExpand[Abs'[x], Assumptions -> {x \[Element] Reals}].

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general, por lo que yo sé, no hay matemática forma de saber Mathematica que una variable es real. Solo es posible hacerlo de forma formal, utilizando patrones, y solo para ciertas funciones que tienen la opción Assumptions. Por "formal" quiero decir que si dices que a[x] es real, no sabrá automáticamente que a'[x] también es real.

Answer 3

En este caso, podría usar ComplexExpand, aunque con una solución alternativa. Por ejemplo

ComplexExpand[Norm[a'[s], t]] /. t -> 2 

vuelve

Sqrt[Derivative[1][a1][s]^2 + Derivative[1][a2][s]^2 + Derivative[1][a3][s]^2] 

note que al hacer algo como ComplexExpand[Norm[a'[s], 2]] (o, de hecho ComplexExpand[Norm[a'[s], p]] donde p es un número racional) no funciona por alguna razón.

Answer 4

Para versiones anteriores de Mathematica que solía ser un paquete adicional RealOnly que puso Mathematica en un modo de sólo reales. Hay una versión disponible en versiones posteriores y online con actualizaciones de compatibilidad mínimas. Reduce muchas situaciones a una única verdadera solución, pero no funciona para su caso Norm: