área de intersección entre dos círculos

Question

Dados dos círculos:

• C1 al (x1, y1) con radius1
• C2 al (x2, y2) con radius2

¿Cómo se calcula el área de su intersección? Todas las funciones matemáticas estándar (sin, cos, etc.) están disponibles, por supuesto.

Answer 1

bien, utilizando el enlace Wolfram y cue de Misnomer para mirar a la ecuación 14, I haber derivado la siguiente solución Java utilizando las variables que se enumeran y la distancia entre los centros (trivialmente, que se pueden derivar de ellos):

Double r = radius1; 
Double R = radius2; 
Double d = distance; 
if(R < r){ 
    // swap 
    r = radius2; 
    R = radius1; 
} 
Double part1 = r*r*Math.acos((d*d + r*r - R*R)/(2*d*r)); 
Double part2 = R*R*Math.acos((d*d + R*R - r*r)/(2*d*R)); 
Double part3 = 0.5*Math.sqrt((-d+r+R)*(d+r-R)*(d-r+R)*(d+r+R)); 

Double intersectionArea = part1 + part2 - part3; 

Answer 2

Es posible que desee comprobar esto analytical solution y aplicar la fórmula con sus valores de entrada.

Otra fórmula dada here -

Area = r^2*(q - sin(q)) where q = 2*acos(c/2r), 
where c = distance between centers and r is the common radius. 

Answer 3

Aquí es una función de JavaScript que hace exactamente lo que Chris fue después:

function areaOfIntersection(x0, y0, r0, x1, y1, r1) 
{ 
    var rr0 = r0 * r0; 
    var rr1 = r1 * r1; 
    var d = Math.sqrt((x1 - x0) * (x1 - x0) + (y1 - y0) * (y1 - y0)); 
    var phi = (Math.acos((rr0 + (d * d) - rr1)/(2 * r0 * d))) * 2; 
    var theta = (Math.acos((rr1 + (d * d) - rr0)/(2 * r1 * d))) * 2; 
    var area1 = 0.5 * theta * rr1 - 0.5 * rr1 * Math.sin(theta); 
    var area2 = 0.5 * phi * rr0 - 0.5 * rr0 * Math.sin(phi); 
    return area1 + area2; 
} 

Sin embargo, este método devolverá NaN si un círculo está completamente dentro del otro, o no se están tocando en absoluto. Una versión ligeramente diferente que no falla en estas condiciones es el siguiente:

function areaOfIntersection(x0, y0, r0, x1, y1, r1) 
{ 
    var rr0 = r0 * r0; 
    var rr1 = r1 * r1; 
    var d = Math.sqrt((x1 - x0) * (x1 - x0) + (y1 - y0) * (y1 - y0)); 

    // Circles do not overlap 
    if (d > r1 + r0) 
    { 
    return 0; 
    } 

    // Circle1 is completely inside circle0 
    else if (d <= Math.abs(r0 - r1) && r0 >= r1) 
    { 
    // Return area of circle1 
    return Math.PI * rr1; 
    } 

    // Circle0 is completely inside circle1 
    else if (d <= Math.abs(r0 - r1) && r0 < r1) 
    { 
    // Return area of circle0 
    return Math.PI * rr0; 
    } 

    // Circles partially overlap 
    else 
    { 
    var phi = (Math.acos((rr0 + (d * d) - rr1)/(2 * r0 * d))) * 2; 
    var theta = (Math.acos((rr1 + (d * d) - rr0)/(2 * r1 * d))) * 2; 
    var area1 = 0.5 * theta * rr1 - 0.5 * rr1 * Math.sin(theta); 
    var area2 = 0.5 * phi * rr0 - 0.5 * rr0 * Math.sin(phi); 

    // Return area of intersection 
    return area1 + area2; 
    } 
} 

escribí esta función mediante la lectura de la información que se encuentra en el Math Forum. Encontré esto más claro que la explicación Wolfram MathWorld.