Encontrar la longitud de una B-spline cúbica

Question

Usando la función scipy's interpolate.splprep obtener una spline paramétrica en el parámetro u, pero el dominio de u no es la integral de línea de la spline, es una conexión lineal por partes de las coordenadas de entrada. Intenté integrate.splint, pero eso solo le da a las integrales individuales más de u. Obviamente, puedo integrar numéricamente un montón de distancias diferenciales cartesianas, pero me preguntaba si había un método de forma cerrada para obtener la longitud de un segmento spline o spline (usando scipy o numpy) que estaba pasando por alto.

Editar: Estoy buscando una solución cerrada o una forma muy rápida de converger a una respuesta de precisión de máquina. Casi he renunciado a los métodos numéricos de búsqueda de raíces y ahora estoy principalmente después de una respuesta cerrada. Si alguien tiene alguna experiencia integrando funciones elípticas o puede indicarme un buen recurso (aparte de Wolfram), sería genial.

Voy a tratar Maxima para tratar de obtener la integral indefinida de lo que creo que es la función de un segmento de la spline: Cruzo publicado esto en-MathOverflow

Answer 1

Debido a que tanto x & y son cúbico funciones paramétricas, no hay una solución cerrada en términos de funciones simples. La integración numérica es el camino a seguir. La integración de la expresión de longitud de arco o simplemente la adición de longitudes de segmento de línea depende de la precisión que persiga y de cuánto esfuerzo desee realizar.

un método preciso y rápido "Adición de longitud de segmentos de línea":

Uso de subdivisión recurvise (una forma de algoritmo de de Casteljeau) para generar puntos, se puede dar una representación muy precisa con el número mínimo de puntos . Solo subdivida subdivisiones si no cumplen con un criterio. Por lo general, el criterio se basa en la longitud que une los puntos de control (el casco o la jaula). Para cúbicos, generalmente comparando la cercanía de P0P1 + P1P2 + P2P3 a P0P3, donde P0, P1, P2 & P3 son los puntos de control que definen su bezier.

se pueden encontrar algunos de código de Delphi aquí: link text

Debería ser relativamente fácil de convertir a Python. Generará los puntos. El código ya calcula la longitud de los segmentos para probar los criterios. Simplemente puede acumular esos valores de longitud en el camino.

Answer 2

puede integrar la función sqrt(x'(u)**2+y'(u)**2) sobre u, donde se calculan los derivados x' y y' de sus coordenadas con scipy.interpolate.splev. La integración se puede hacer con una de las rutinas de scipy.integrate (quad es preciso [Clenshaw-Curtis], romberg es generalmente más rápido). Esto debería ser más preciso, y probablemente más rápido que sumar muchas distancias pequeñas (que es equivalente a la integración con la regla del rectángulo).