Para el navegador, no, el tipo MIME es lo que realmente importa. Ver this list of MIME types.
Para el usuario, agregar la extensión puede ser significativo, pero la mayoría de las URL de imágenes no son visibles para el usuario final, por lo que este no es un gran punto.
Para el servidor, la extensión definitivamente podría importar. La mayoría de los servidores web utilizan la extensión de un archivo como el medio por el cual determinan cómo manejar una solicitud entrante. e.g .:
Si tuviera la necesidad de generar dinámicamente el archivo robots.txt, puede configurar su servidor web para manejar las solicitudes .txt entrantes de forma diferente que si usara un robots.txt estático.
+1: pero la extensión a veces se usa para "adivinar" el tipo de contenido cuando no está presente en la respuesta HTTP. –