Gnuplot se comporta de forma extraña en un ajuste polinómico. ¿Porqué es eso?

Question

Un amigo mío descubrió un comportamiento extraño en gnuplot con respecto a un simple ajuste polinómico. ¿Puede explicar esto?

Aquí está el archivo:

#!/usr/bin/gnuplot -p 

f(x) = B*(x**4) + A 
fit f(x) "data.txt" using ($1+273.14):2 via A, B 

plot "data.txt" using ($1+273.14):2 notitle,\ 
     f(x) notitle 

Los datos son:

# content of data.txt 
350 3.856 
330 3.242 
290 2.391 
250 1.713 
210 1.181 
170 0.763 
130 0.437 

El gráfico resultante es la línea verde. La línea azul muestra un ajuste mucho mejor usando otra función de básicamente la misma forma. Para la línea verde A se sustituye por un valor constante (A = 0,2123, que es sobre B * 300^4)

Así la línea verde no es claramente el mejor ajuste aquí desde f(x) = B*(x**4) - 0.2123 produce betterresults FAR y también tiene la forma B * x 4 + A. En el ajuste verde, el parámetro ** A simplemente se ignora por gnuplot y el algoritmo de ajuste no lo modifica. Establecer diferentes valores iniciales para A y B no parece ayudar mucho; el valor de A nunca cambia para su valor inicial. Mi amigo y yo estamos usando la versión estándar de Gnuplot que viene con Ubuntu: gnuplot 4.4 patchlevel 3.

Answer 1

Esta es una muy buena (y complicada) pregunta para la que no tengo una respuesta completa, pero espero que la siguiente ser iluminador.

El ajuste usa una rutina de ajuste de mínimos cuadrados (Levenberg–Marquardt). que converge iterativamente en una "buena" solución. La buena solución que se requiere está determinada por la variable FIT_LIMIT. De forma predeterminada, FIT_LIMIT está configurado como (un conservador) 1.e-5. Aparentemente, tus datos convergen mucho más rápido al cambiar el valor de B en el enrutamiento iterativo en comparación con el cambio A. De hecho, como habrás notado, puedes obtener el umbral de error sin siquiera tocar la variable A. Sin embargo, si te mueves hacia arriba sus expectativas (Espera obtener un mejor ajuste, por lo que establece FIT_LIMIT a un valor inferior - Lo ajusto a 1.e-14), obtendrá un resultado mucho mejor. El precio que paga aquí es que el ajuste puede tardar mucho más tiempo en converger (o incluso puede divergir; no soy un experto en ajuste). Lo más llamativo es que el ajuste de función es más un arte que una ciencia, y no existe , no existe el mejor ajuste, solo un ajuste suficientemente bueno.

También tenga en cuenta que el algoritmo busca una minimización local de los cuadrados de los residuos (que cumple con la tolerancia que ha otorgado). No garantiza que encuentre un mínimo global.

#!/usr/bin/gnuplot -p 

FIT_LIMIT=1.e-14 
f(x) =A + B*(x**4) 
fit f(x) "data.txt" using ($1+273.14):2 via A, B 

plot  "data.txt" using ($1+273.14):2 notitle,\ 
     f(x) notitle 

También tenga en cuenta que si usted encuentra que gnuplot está convergiendo en el mínimo mal, puede "semilla" de la rutina en forma haciendo:

FIT_LIMIT=1.e-14 
f(x) =A + B*(x**4) 
A=1.3 #initial guess for A 
fit f(x) "data.txt" using ($1+273.14):2 via A, B 

plot  "data.txt" using ($1+273.14):2 notitle,\ 
     f(x) notitle 

Answer 2

Sólo trate el código de abajo. El truco consiste en garantizar que el rango de las variables x e y sea del mismo orden de magnitud.

reset; 
plot 'data.txt' u ($1+273.14):2 w p; 
f(x, a, b) = a*(1e-2*x)**4 + b; # note the 1e-2 multiplicative factor 
a = 1; b = 1; # initial parmeters 
fit f(x,a,b) 'data.txt' u (($1+273.14)):2 via a, b 
#plot 'data.txt' u (($1+273.14)):2 w p, f(x, a, b) w l 
plot 'data.txt' u (($1+273.14)):2 w p, (a*(1e-2)**4)*x**4+b w l 
print sprintf("Fit parameters for the fit function a*x^4 + b are :\n\ta = %e, \n\tb = %f", a*(1e-2)**4, b)