Sé que en el controlador Asp.net MVC, podemos acceder a la aplicación como esta:Cómo acceder a un objeto Aplicación en Asp.net MVC Controlador Web API
HttpContext.Application["AppVar"]
Pero en el controlador de API Web, no hay HttpContext, ¿cómo acceder a la aplicación Object entonces?
Esto no parece funcionar en la API de Web 2 ("HttpContext no existe en el espacio de nombres "System.Web" ...) entonces, en este caso, la pregunta de OP permanece sin respuesta. ¿Hay más información para Web API 2? –