estándar para el seno de un gran número

Question

Yo escribo una aplicación compatible con punto flotante (casi) IEEE 854 en TeX (que sólo tiene soporte para enteros de 32 bits). Este estándar solo especifica el resultado de +, -, *, /, comparación, resto y sqrt: para esas operaciones, el resultado debe ser idéntico al redondeo del resultado exacto a un número representable (de acuerdo con el modo de redondeo).

Me parece recordar que IEEE especifica que las funciones trascendentales (sin, exp ...) deben dar resultados fieles (por defecto en el asalto a modo cercano, que debe ser la salida a uno de los dos números representables que rodean el resultado exacto) Calcular el seno de números pequeños es bastante sencillo: cambiar por un múltiplo de 2 * pi para obtener un número en el rango [0,2 * pi], luego hacer un poco más de trabajo para reducir el rango a [0, pi/4] y usa una serie de Taylor.

Supongamos ahora que quiero para calcular el pecado (1e300). Para eso necesitaría encontrar 1e300 módulo 2 * pi. Eso requiere saber 300 (316?) Decimales de pi, porque con solo 16 decimales, el resultado no tendría ningún significado en absoluto (en particular, no sería fiel).

¿Existe una norma en lo que debe ser el resultado de sin(1e300) y muy grandes números similares?

¿Qué hacen otras implementaciones de punto flotante?

Answer 1

no existe una norma que requiere fieles redondeo de las funciones trascendentes. IEEE-754 (2008) recomienda, pero no requiere que estas funciones se redondeen correctamente.

La mayoría de las buenas librerías matemáticas se esfuerzan por ofrecer resultados fielmente redondeados en todo el rango (sí, incluso para grandes entradas en sin() y casos similares). Como nota, esto requiere que la biblioteca sepa un poco más dígitos de π luego hay dígitos en el número representable más grande. Esto se llama reducción de argumento "infinito-pi".

Para el punto de que @spraff plantea, buenas bibliotecas matemáticas adoptar el punto de vista de que las entradas son infinitamente preciso (es decir, la función debe comportarse como si la entrada se representa siempre con precisión). Uno puede debatir si esta es una posición razonable o no, pero esa es la suposición de trabajo para esencialmente todas las buenas bibliotecas de matemáticas.

Dicho todo esto, hay muchas bibliotecas que toman la ruta fácil y usan una reducción "finita-pi", que básicamente trata una función como sin() como si π fuera un número finito representable. Resulta que esto realmente no causa ningún problema para la mayoría de los usos , y es ciertamente más fácil de implementar.

Answer 2

Si estás haciendo operaciones en tan gran número, por supuesto que va a quedar sin precisión:

#include <iostream> 
#include <math.h> 

int main() { 
    long double i = 1; 
    std :: cout << sin (i) << "\n" << sin (i+0.1) << "\n"; 
    i = pow (10, 300); 
    std :: cout << sin (i) << "\n" << sin (i+0.1); 
} 

Salida:

0,841471

0,891207

-0,817882

-0.81788

Si no puede representar las entradas con precisión, no puede representar las salidas con precisión. Restando pi*pow(10,int(log_10(n/pi)) o lo que se va a empeorar las cosas para "pequeña" n pero cuando n obtiene convenientemente grande, sólo estás añadiendo ruido a ruido y no importa nada más.