¿Cómo se programan los logaritmos?

Question

¿Se acaban de descifrar usando un enfoque de fuerza bruta o hay un algoritmo para hacerlo?

Answer 1

La implementación de una función como el logaritmo natural en cualquier biblioteca matemática decente mantendrá el error debajo de un ulp (unidad de menor precisión). El objetivo del implementador de una función de biblioteca matemática es encontrar una aproximación óptima, una que logre la precisión deseada con el menor número de cálculos posible. Las series de Taylor son generalmente una opción pobre porque se necesitan demasiados términos para lograr la precisión deseada.

Las armas típicas de elección son reducir el rango de todos los números reales representables a una región muy pequeña, y luego usar una aproximación óptima que produzca una aproximación precisa de la función deseada en este estrecho rango. Las armas típicas de elección para esta aproximación óptima son un polinomio o un polinomio racional (relación de dos polinomios). La implementación solo contiene los coeficientes polinomiales. Esos coeficientes se construyen mediante alguna técnica de optimización, como el algoritmo Remes Exchange.

En el caso del logaritmo natural, hay una manera fácil de reducir el rango. Los números reales son casi universalmente representados en términos de una mantisa y un exponente: x = m * 2 ^p, donde p es un entero y m es entre 1 y 2. Por lo tanto log (x ) = registro ( m) + p * log (2). El último término, p * log (2), es solo una multiplicación por una constante conocida. El problema se reduce a encontrar el logaritmo de un número entre 1 y 2 (o entre 1/2 y 1). Se puede hacer una reducción de rango adicional usando el hecho de que √2 es logarítmicamente en el medio de [1,2). Por lo tanto, todo lo que se necesita es una forma de calcular el logaritmo de un número entre 1 y √2. Esto se hace típicamente con un polinomio racional. La relación de un polinomio polinómico de segundo orden a un tercer orden funciona muy bien para esto.

Answer 2

Existen varias formas de calcular logaritmos. Ver this.