Exponencialización de matriz rápida

Question

¿Existe algún método más rápido de exponenciación de matrices para calcular M^n (donde M es una matriz yn es un número entero) que el algoritmo de división y conquista simple?

Answer 1

Puede factorizar la matriz en autovalores y autovectores. Entonces obtienes

M = V^-1 * D * V 

Donde V es la matriz de vectores propios y D es una matriz diagonal. Para elevar esto a la enésima potencia, se obtiene algo así como:

M^n = (V^-1 * D * V) * (V^-1 * D * V) * ... * (V^-1 * D * V) 
    = V^-1 * D^n * V 

porque todos los V y V^-1 términos se anulan.

Dado que D es diagonal, solo tiene que elevar un grupo de números (reales) a la enésima potencia, en lugar de matrices completas. Puedes hacer eso en tiempo logarítmico en n.

El cálculo de autovalores y autovectores es r^3 (donde r es el número de filas/columnas de M). Dependiendo de los tamaños relativos de ryn, esto podría ser más rápido o no.

Answer 2

Exponentiation by squaring se usa con frecuencia para obtener altas potencias de matrices.

Answer 3

Recomendaría el enfoque utilizado para calcular la secuencia de Fibbonacci en matrix form. AFAIK, su eficiencia es O (log (n)).

Answer 4

Es bastante simple utilizar el algoritmo de potencia rápida de Euler. Usa el siguiente algoritmo

#define SIZE 10 

//It's simple E matrix 
// 1 0 ... 0 
// 0 1 ... 0 
// .... 
// 0 0 ... 1 
void one(long a[SIZE][SIZE]) 
{ 
    for (int i = 0; i < SIZE; i++) 
     for (int j = 0; j < SIZE; j++) 
      a[i][j] = (i == j); 
} 

//Multiply matrix a to matrix b and print result into a 
void mul(long a[SIZE][SIZE], long b[SIZE][SIZE]) 
{ 
    long res[SIZE][SIZE] = {{0}}; 

    for (int i = 0; i < SIZE; i++) 
     for (int j = 0; j < SIZE; j++) 
      for (int k = 0; k < SIZE; k++) 
      { 
       res[i][j] += a[i][k] * b[k][j]; 
      } 

    for (int i = 0; i < SIZE; i++) 
     for (int j = 0; j < SIZE; j++) 
      a[i][j] = res[i][j]; 
} 

//Caluclate a^n and print result into matrix res 
void pow(long a[SIZE][SIZE], long n, long res[SIZE][SIZE]) 
{ 
    one(res); 

    while (n > 0) { 
     if (n % 2 == 0) 
     { 
      mul(a, a); 
      n /= 2; 
     } 
     else { 
      mul(res, a); 
      n--; 
     } 
    } 
} 

A continuación encontrará equivalentes para los números:

long power(long num, long pow) 
{ 
    if (pow == 0) return 1; 
    if (pow % 2 == 0) 
     return power(num*num, pow/2); 
    else 
     return power(num, pow - 1) * num; 
}