¿Cómo marco un campo de pendiente usando mathematica?

Question

Estoy tratando de trazar los campos de pendiente de algunas ecuaciones diferenciales usando mathematica pero no puedo resolverlo. Supongamos que tengo la ecuación

y' = y(t) 
    y(t) = C * E^t 

¿Cómo se traza el campo de pendiente?

me encontré con un ejemplo pero es muy complejo de entender para mí http://demonstrations.wolfram.com/SlopeFields/

Answer 1

El comando que necesita (desde la versión 7) es VectorPlot. Hay buenos ejemplos en la documentación.

Creo que el caso que le interesa es una ecuación diferencial

y'[x] == f[x, y[x]] 

En el caso que dio en su pregunta,

f[x_, y_] := y 

que integra a la exponencial

In[]:= sol = DSolve[y'[x] == f[x, y[x]], y, x] 
Out[]= {{y -> Function[{x}, E^x c]}} 

Podemos trazar el campo de pendiente (ver wikibooks:ODE:Graphing) usando

VectorPlot[{1, f[x, y]}, {x, -2, 2}, {y, -2, 2}] 

Esto pueden representarse gráficamente con las soluciones a la DE de usar algo como

Show[VectorPlot[{1, f[x, y]}, {x, -2, 2}, {y, -2, 8}, 
    VectorStyle -> Arrowheads[0.03]], 
Plot[Evaluate[Table[y[x] /. sol, {c, -10, 10, 1}]], {x, -2, 2}, 
    PlotRange -> All]] 

Tal vez un ejemplo más interesante es la de Gauss

In[]:= f[x_, y_] := -x y 

In[]:= sol = DSolve[y'[x] == f[x, y[x]], y, x] /. C[1] -> c 
Out[]= {{y -> Function[{x}, E^(-(x^2/2)) c]}} 

Show[VectorPlot[{1, f[x, y]}, {x, -2, 2}, {y, -2, 8}, 
    VectorStyle -> Arrowheads[0.026]], 
Plot[Evaluate[Table[y[x] /. sol, {c, -10, 10, 1}]], {x, -2, 2}, 
    PlotRange -> All]] 

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Por último, no es un concepto relacionado del gradiente de campo, donde se mira el (derivado del vector) gradiente de una función:

In[]:= f[x_, y_] := Sin[x y] 
     D[f[x, y], {{x, y}}] 
     VectorPlot[%, {x, -2, 2}, {y, -2, 2}] 

Out[]= {y Cos[x y], x Cos[x y]} 

Answer 2

Al parecer, de la demostración se conectó que toma una función f (x, y), pero hay una serie de diferencias. Sin embargo, sabiendo que f(x,y)=y(x)', puede simplemente usar f(x,y)=C*E^x donde x=t. Mis diferenciales pueden estar un poco oxidados, pero estoy bastante seguro de que es correcto.